Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若AH=3，则向量$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AC}$=27．

Answer 1

分析 运用向量的平行四边形法则和向量的数量积的定义和直角三角形中锐角的三角函数的定义，计算即可得到．

解答 解：在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
则$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AH}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\overrightarrow{AH}$$•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AD}$
=2$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AD}$=2|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AM}$|cos∠MAH+|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos∠DAH
=2|$\overrightarrow{AH}$|²+|$\overrightarrow{AH}$|²=3|$\overrightarrow{AH}$|²=3×9=27．
故答案为：27．

点评 本题考查向量加法的平行四边形法则和向量的数量积的定义和性质，考查直角三角形中锐角三角函数的定义，属于中档题．