Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），建立方程组，求出a，b，即可求出椭圆C的方程．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{2}{3}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．