Question

16．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则数列{a_na _n+1}的前49项和为（　　）

• A． $\frac{12}{25}$
• B． $\frac{49}{50}$
• C． $\frac{49}{100}$
• D． $\frac{49}{200}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项，以2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得{a_n}的通项公式，代入a_na _n+1后，利用裂项相消法求得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=2+2（n-1）=2n$，${a}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
则a₁a₂+a₂a₃+…+a₄₉a₅₀=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{50}）=\frac{49}{200}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．