Question

10．已知函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）当x∈[1，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数t（t＞a），当x∈[0，t]时，函数f（x）的值域为[0，$\frac{t}{2}$]，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，2≤x≤4}\\{{x}^{2}-4x，4＜x≤5}\end{array}\right.$，从而由分段函数及二次函数的性质写出函数的单调性，从而求最值；
（2）当x∈[1，2]，不等式f（x）≤1恒成立可转化为f_max（x）≤1，从而转化为求函数f（x）在[1，2]上的最大值问题，分类讨论求函数的最大值即可；
（3）当a≤0时，f（x）=x（x-a）在[0，t]上是增函数，从而求实数a的取值范围；
当a＞0时，化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），0≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤t}\end{array}\right.$；从而可得f（x）在[0，a]上的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；在（a，t]上的最大值为f（t）=t（t-a）；从而讨论最值的位置得到不等式组，解之即可．

解答 解：（1）由题意得，
f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，2≤x≤4}\\{{x}^{2}-4x，4＜x≤5}\end{array}\right.$，
则f（x）在[2，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，
且f（2）=4，f（4）=0，f（5）=5；
故f_max（x）=5，f_min（x）=0；
（2）①当a≤1时，f（x）=x|x-a|=x（x-a），
故f_max（x）=2（2-a）≥2，故不成立；
②当a＞2时，f（x）=x|x-a|=-x（x-a），
f（1）=a-1＞1，故不成立；
③当a=2时，f（x）=x|x-2|=-x（x-2）≤1恒成立；
④当1＜a＜2时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），1≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤2}\end{array}\right.$，
则可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=（a-1）≤1}\\{f（2）=2（2-a）≤1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{3}{2}$≤a＜2；
综上所述，
实数a的取值范围为[$\frac{3}{2}$，2]；
（3）①当a≤0时，
f（x）=x（x-a）在[0，t]上是增函数，
故t（t-a）=$\frac{t}{2}$，
故t=a+$\frac{1}{2}$＞0，
故a＞-$\frac{1}{2}$；
故-$\frac{1}{2}$＜a≤0；
②当a＞0时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），0≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤t}\end{array}\right.$；
故f（x）在[0，a]上的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
f（x）在（a，t]上的最大值为f（t）=t（t-a）；
若函数f（x）在x=$\frac{a}{2}$时取得最大值，则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{t}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}≥t（t-a）}\\{t＞a}\end{array}\right.$，
解得，2＜a≤1+$\sqrt{2}$，
若函数f（x）在x=t时取得最大值，则
$\left\{\begin{array}{l}{t（t-a）=\frac{t}{2}}\\{t（t-a）≥\frac{{a}^{2}}{4}}\\{t＞a}\end{array}\right.$，
解得，0＜a≤1+$\sqrt{2}$，
综上所述，实数a的取值范围为
（-$\frac{1}{2}$，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了分段函数，绝对值函数及二次函数的性质，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题．