Question

5．已知函数f（x）=$\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在Rt△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）可得：f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1，又0$＜A＜\frac{π}{2}$，由正弦函数的图象和性质可得sin（2A-$\frac{π}{4}$）的范围，从而可求f（A）的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-（1+cos2x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间是：[k$π-\frac{π}{8}$，k$π+\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
（2）∵由（1）可得：f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1，
又∵∠B=$\frac{π}{2}$，可得0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴可得：-$\frac{π}{4}$＜2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）-1∈（-1，$\sqrt{2}$]，
∴f（A）的取值范围是：（-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．