Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2），则a₁a₂+a₂a₃+…+a₂₀₁₄a₂₀₁₅=$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 由a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2），变形后得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，从而求出a_n，再计算即可．

解答 解：∵a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$，化简得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1，
又a₁=1，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+n-1=n，即a_n=$\frac{1}{n}$，
所以a₁a₂+a₂a₃+…+a₂₀₁₄a₂₀₁₅
=a₁-a₂+a₂-a₃+…+a₂₀₁₄-a₂₀₁₅
=a₁-a₂₀₁₅
=$1-\frac{1}{2015}$
=$\frac{2014}{2015}$，
故答案为：$\frac{2014}{2015}$．

点评 本题考查递推公式，对不等式灵活的进行变形是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．