Question

4．若α∈（$\frac{π}{2}$，π），则$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$的最小值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 变形为$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+4}$=$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$，运用基本不等式求解即可．

解答 解：$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+4}$
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），tanα≠0，tanα＜0，
∴（-tanα）+（-$\frac{4}{tanα}$）≥4，
即tan$α+\frac{4}{tanα}$≤-4，
$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$$≥-\frac{1}{2}$
∴原式=$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$的最小值$-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$

点评 本题考查了三角函数的求值问题，基本不等式的求解，关键是恒等变形得出运用基本不等式的条件即可，难度不大，中档题．