Question

20．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b₄=a₁+a₂+a₃，设c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，则T₁₀=$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 由S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），变形为S_n+1=2（S_n-1+1），利用等比数列的通项公式可得S_n．再利用等差数列的通项公式可得b_n，利用“裂项求和”可得T_n．

解答 解：∵S_n=2S_n-1+1（n≥2且n∈N^*），
∴S_n+1=2（S_n-1+1），
∴数列{S_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴S_n+1=2ⁿ，
∴${S}_{n}={2}^{n}$-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₁+a₂+a₃=S₃-1=7，
∴1+3d=7，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
设c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
∴T₁₀=$\frac{10}{21}$．
故答案为：$\frac{10}{21}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．