Question

5．已知方程$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$=k在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（　　）

• A． sina=acosb
• B． sina=-acosb
• C． cosa=bsinb
• D． sinb=-bsina

Answer 1

分析 化简方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k有两不同的解a，b，画出两个函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．然后求出在B处的切线，通过O，A B三点共线，推出结果．

解答 解：∵方程$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$=k有两不同的解a，b，∴方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k有两不同的解a，b，
∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两交点，作出两个函数的图象，

函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），
在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinb=f′（b）（x-b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，
∴$\frac{sinb}{b}$=-cosb，∵O，A B三点共线，∴$\frac{-sina}{a}$=$\frac{sinb}{b}$，
∴$\frac{sina}{a}$=-cosb，∴sina=-acosb．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点与方程的跟的关系，数形结合的应用，函数的切线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．