Question

16．是否存在常数a、b使得1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+$\frac{1}{4}$对一切n∈N^*都成立？若存在，请求出a、b的值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设存在a，b，使得所给等式成立．通过n=1，2，列出方程组，求出a，b即可．然后用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．

解答 解：n=1时，1=3（a-b）+$\frac{1}{4}$，n=2时，1+2×3=9（2a-b）+$\frac{1}{4}$，
所以a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$，
所以1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$．
用数学归纳法证明等式1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$．
（1）当n=1时，由以上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1+2×3+3×3²+4×3²+…+k×3^k-1=3^k（$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
则当n=k+1时，1+2×3+3×3²+4×3²+…+k×3^k-1+（k+1）×3^k=3^k（$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{4}$）+（k+1）×3^k+$\frac{1}{4}$
=3^k+1[$\frac{1}{2}$（k+1）-$\frac{1}{4}$]+$\frac{1}{4}$
由（1）（2）知，等式结一切正整数n都成立

点评 本题是探索性命题，它通过观察归纳、猜想、证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．