Question

7．已知锐角A，B满足：sinB-cosB=$\frac{1}{5}$，tanA+tanB+$\sqrt{3}$tanAtanB=$\sqrt{3}$，则cosA=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知求出sinB、cosB的值，再由tanA+tanB+$\sqrt{3}$tanAtanB=$\sqrt{3}$得到A+B=$\frac{π}{3}$，然后展开两角差的余弦求得cosA．

解答 解：∵tanA+tanB+$\sqrt{3}$tanAtanB=$\sqrt{3}$，
∴$tanA+tanB=\sqrt{3}（1-tanAtanB）$，
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=tan（A+B）=\sqrt{3}$，
由sinB-cosB=$\frac{1}{5}$，两边平方得：$2sinBcosB=\frac{24}{25}$，
∴sinB+cosB=$\sqrt{（sinB+cosB）^{2}}=\sqrt{1+2sinBcosB}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinB-cosB=\frac{1}{5}}\\{sinB+cosB=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，解得sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
又A，B为锐角，∴0＜A+B＜π，则A+B=$\frac{π}{3}$，
cosA=cos（$\frac{π}{3}-B$）=cos$\frac{π}{3}cosB+sin\frac{π}{3}sinB$
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数的基本关系式及两角和的正切公式，考查了学生的灵活运算能力，是中档题．