Question

15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N^*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．有下列函数中是一阶整点函数的是（　　）
①f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）②g（x）=x³    ③h（x）=（$\frac{1}{3}$）^x   ④φ（x）=lnx．

• A． ①②③④
• B． ①③④
• C． ④
• D． ①④

Answer 1

分析 根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．

解答 解：对于函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；
对于函数g（x）=x³，当x∈Z时，一定有g（x）=x³∈Z，即函数g（x）=x³通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数h（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．
故选：D

点评 本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．