Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）]在其一个周期内的图象最高点和最低点的坐标分别是（$\frac{7}{8}$π，2），（$\frac{7}{8}$π，-2）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）三角形ABC的三个内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，a=6，4sinB=5sinC，求边b，c．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A，T，由周期公式可求ω，由题意可求φ，即可得解．
（2）由已知可求sin（A-$\frac{π}{4}$），cos（A-$\frac{π}{4}$），从而可求cosA，由正弦定理可得c=$\frac{4b}{5}$，根据余弦定理即可解得b，c的值．

解答 解：（1）由已知可得A=2，T=2（$\frac{7π}{8}$-$\frac{3π}{8}$）=π，所以ω=2，…2分
从而2=2sin（2×$\frac{3π}{8}$+φ），可取φ=-$\frac{π}{4}$，…5分
所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）…6分
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，得到sin（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又A-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），所以cos（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…8分
所以cosA=cos（A-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（A-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$，
由4sinB=5sinC得到c=$\frac{4b}{5}$，…10分
根据余弦定理，得到36=b²+$\frac{16{b}^{2}}{25}$-2b×$\frac{4b}{5}×\frac{3}{5}$，
解得b=$\frac{30\sqrt{17}}{17}$，c=$\frac{24\sqrt{17}}{17}$…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，正弦定理及余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．