Question

8．复数z=$\frac{（1-i）^{3}（m+ni）}{1+i}$，且|z|=4，复数z在复平面内对应的点z在第一象限，若复数0，z，$\overline{z}$对应的点构成一个等边三角形，求复数z．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则可得z=-2m-2ni，由|z|=4，可得m²+n²=4．由于复数z在复平面内对应的点z在第一象限，若复数0，z，$\overline{z}$对应的点构成一个等边三角形．可得-2m＞0，-2n＞0，$\frac{-2n}{-2m}$=tan30°，联立$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=4}\\{m＜0，n＜0}\\{m=\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：∵（1-i）³=（1-i）²（1-i）=-2i（1-i）=-2-2i，
∴z=$\frac{（1-i）^{3}（m+ni）}{1+i}$=$\frac{-2（1+i）（m+ni）}{1+i}$=-2m-2ni，
∵|z|=4，
∴$\sqrt{（-2m）^{2}+（-2n）^{2}}$=4，
化为m²+n²=4．
∵复数z在复平面内对应的点z在第一象限，若复数0，z，$\overline{z}$对应的点构成一个等边三角形．
∴-2m＞0，-2n＞0，$\frac{-2n}{-2m}$=tan30°，化为$\sqrt{3}n=m$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=4}\\{m＜0，n＜0}\\{m=\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，
解得m=-$\sqrt{3}$，n=-1，
∴z=2$\sqrt{3}$+2i．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义、模的计算公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．