Question

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．若tanC=2，a=2，求b的值．

Answer 1

分析 建立坐标系，利用向量的坐标运算的方法求出x，得到所求．

解答 解：如图建立坐标系，
设OC=x．x＞0，因为tanC=2，a=2，则OB=2-x，OA=2x，
则$\overrightarrow{AB}$=（x-2．-2x），$\overrightarrow{AC}$=（x，-2x），$\overrightarrow{BC}$=（2，0），
因为$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{BC}）$=0，所以（x-2）（x+6）+4x²=0解得x=2（x=-1，2舍去），
所以O与B 重合，所以∠B=90°，
b=AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量的数量积以及坐标法解决问题．