Question

5．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex-k有且只有一个零点，求k的值为e²$+\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根据函数g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，得出g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e），利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，y=k交点判断即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，
则g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e），
当g′（x）＞0时，则0＜x＜e，
当g′（x）＜0时，则x＞e，
当g′（x）=0时，则x=e，
∴g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex，在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，
x=e时g（x）最大值为g（e）=e²$+\frac{1}{e}$
∵函数g（x）=$\frac{lnx}{x}-{x}^{2}$+2ex-k有且只有一个零点，
∴函数y=k与g（x）只有1个交点，
根据图象可知：k=e²$+\frac{1}{e}$，
故答案为：e²$+\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．