Question

15．已知α是第二象限的角，且sin⁴α+cos⁴α=$\frac{5}{8}$，求cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$的值．

Answer 1

分析 已知等式利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形，整理求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα-cosα的值，原式被开方数分子分母乘以分子，利用二次根式性质及同角三角函数间基本关系化简，整理后将sinα-cosα的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵α是第二象限的角，且sin⁴α+cos⁴α=$\frac{5}{8}$，即（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α=$\frac{5}{8}$，
∴cosα＜0，sinα＞0，sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinα-cosα=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
则原式=cosα•$\sqrt{\frac{（1-sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα•$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=-1+sinα+1-cosα=sinα-cosα=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．