Question

4．在△ABC中，求证acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}（a+b+c）$．

Answer 1

分析 由倍角公式化简已知等式左边后，由余弦定理化角为边，整理即可证明．

解答 解：等式左边=acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$
=a×$\frac{1+cosC}{2}$+c×$\frac{1+cosA}{2}$
=$\frac{a+acosC+c+ccosA}{2}$，
=$\frac{a+a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}+c+c×\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{2}$
=$\frac{a+c+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}}{2}$
=$\frac{a+c+\frac{2{b}^{2}}{2b}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（a+b+c）=右边．得证．

点评 本题主要考查了倍角公式，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．