Question

13．对于x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$≥16恒成立，则正数p的取值范围为（　　）

• A． （-∞-9）
• B． （-9，9]
• C． （-∞，9]
• D． [9，+∞）

Answer 1

分析 $\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$）（sin²x+cos²x），展开利用基本不等式求出其最小值，让最小值大于等于16得到关于p的不等式，求出解集即可．

解答 解：$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$）（sin²x+cos²x）=1+p+$\frac{psi{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$+$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$
≥1+p+2$\sqrt{p}$=（$\sqrt{p}$+1）²，
所以由不等式$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{p}{co{s}^{2}x}$≥16恒成立，得（$\sqrt{p}$+1）²≥16
所以p≥9
故选：D．

点评 此题是函数恒成立的问题，并考查利用基本不等式求出其最小值的方法，利用“1”的代换是关键．