Question

19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知acosB-bsinB=c．
（1）若B=30°，求A．
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由第一问得到cosA=-sinB，代入原式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据题意求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：（1）由已知条件及正弦定理，得sinAcosB-sin²B=sinC，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin²B=sin（A+B），
即sinAcosB-sin²B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin²B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin30°=-$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=120°；       
（2）由（1），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=$\sqrt{2}$sin（A-45°）．
又cosA=-sinB=cos（90°+B），
∴A=90°+B，
∵A+B＜180°，
∴90°＜A＜135°，
∴45°＜A-45°＜90°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A-45°）＜1，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（A-45°）＜$\sqrt{2}$．           
则sinA+sinB的取值范围为（1，$\sqrt{2}$）．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．