Question

18．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H．
（1）求证：PE•PG=PF•PH；
（2）当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用AB∥CD，可得$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{PD}$，AD∥BC，可得$\frac{PH}{PG}$=$\frac{PB}{PD}$，从而$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PH}{PG}$，即可证明结论；
（2）利用AB∥CD，可得$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$，AD∥BC，可得$\frac{PC}{PG}$=$\frac{PB}{PD}$，从而$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PC}{PG}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{PD}$，
∵AD∥BC，∴$\frac{PH}{PG}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PH}{PG}$．
∴PE•PG=PH•PF．（6分）
（2）解：由题意可得到图形，关系式为PC²=PE•PG，
∵AB∥CD，∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$，
∵AD∥BC，∴$\frac{PC}{PG}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PC}{PG}$，即PC²=PE•PG．（12分）

点评 本题考查平行线分线段成比例的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．