Question

17．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=AA₁=$\sqrt{2}$．设长方体的截面四边形ABC₁D₁的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆O'，则椭圆O'的离心率等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，求出椭圆O₁的长轴与短轴长，计算离心率e即可．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示：
椭圆O_′的长轴长为2a=AB=2，
短轴长为2b=AA₁=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了椭圆的几何性质的应用问题，属于基础题．