Question

6．给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
②当x＞0且x≠1时，有$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$；
③已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
④若函数$y=f（x-\frac{3}{2}）$为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（$\frac{3}{2}$，0）成中心对称．
其中所有正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 ①由题意可知，在三角形中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，因此a＞b?sinA＞sinB，即可判断出正误；
②当1＞x＞0时，lnx＜0，即可判断出正误；
③等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₇-S₅=a₆+a₇＞0，S₉-S₃=3（a₆+a₇），即可判断出正误；
④若函数$y=f（x-\frac{3}{2}）$为R上的奇函数，则$f（-x-\frac{3}{2}）+f（x-\frac{3}{2}）$=0，因此函数y=f（x）的图象一定关于点F$（-\frac{3}{2}，0）$成中心对称，即可判断出正误．

解答 解：①由题意可知，在三角形中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，因此a＞b?sinA＞sinB，因此△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件，正确；
②当1＞x＞0时，lnx＜0，所以不一定大于等于2，不成立；
③等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₇-S₅=a₆+a₇＞0，S₉-S₃=a₄+a₅+…+a₉=3（a₆+a₇）＞0，因此S₉＞S₃，正确；
④若函数$y=f（x-\frac{3}{2}）$为R上的奇函数，则$f（-x-\frac{3}{2}）+f（x-\frac{3}{2}）$=0，因此函数y=f（x）的图象一定关于点F$（-\frac{3}{2}，0）$成中心对称，因此不正确．
综上只有①③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理、对数函数的性质、基本不等式的性质、等差数列的性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．