Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ）试求a₂，a₃的值并证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）设c_n=b_n+a_2n+1求数列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （I）a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$，分别取n=1，n=2，可得a₂，a₃．利用递推式可得b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n，又a_2n+1=-a_2n-2n，可得b_n+1=-2b_n，利用等比数列的定义即可证明．
（II）由（I）可得：a_2n+1=-a_2n-2n，b_n=a_2n，可得c_n=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n．于是$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）证明：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴a₂=2a₁+2-2=1，a₃=-a₂-2=-3．
b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+2（2n+1）-2=2a_2n+1+4n，
又a_2n+1=-a_2n-2n，
∴b_n+1=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，
b₁=a₂=1，
∴数列{b_n}为等比数列，首项为1，公比为-2；
（II）解：由（I）可得：a_2n+1=-a_2n-2n，b_n=a_2n，
c_n=b_n+a_2n+1=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n．c_n+1=-2（n+1）．
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{-2n•[-2（n+1）]}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．