Question

3．已知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a²+2x²+b²=2bx+2$\sqrt{2}$ax只有一个零点，${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB，则边c=1．

Answer 1

分析 由关于x的方程的判别式等于零求得b=$\sqrt{2}$a；根据 ${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，求得cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=$\frac{3π}{4}$；由正弦定理求得a=$\sqrt{2}$csinA，b=$\sqrt{2}$csinB，代入S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB，求得边c的值．

解答 解：△ABC中，关于x的方程 2a²+2x²+b²=2bx+2$\sqrt{2}$ax，即2x²-2bx-2$\sqrt{2}$ax+2a²+b²=0，
根据此方程有唯一解，可得△=${（2\sqrt{2}a+2b）}^{2}$-8（2a²+b²）=0，∴b=$\sqrt{2}$a．
又 ${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，
故 2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即 2acosC+$\sqrt{2}$a=0，
∴cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=$\frac{3π}{4}$．
由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC=5a²，∴c=$\sqrt{5}$a．
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，∴a=$\sqrt{2}$csinA，b=$\sqrt{2}$csinB，
∴S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB=$\frac{1}{2}ab$•sinC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$csinA•$\sqrt{2}$csinB，
∴c²=1，∴c=1．

点评 本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．