Question

15．在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AC=2，AB=3，求tanA和△ABC的面积．

Answer 1

分析 将sinA+cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$两边平方，运用同角的平方关系，解方程可得sinA，cosA，再由商数关系可得tanA，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
平方可得，sin²A+2sinAcosA+cos²A=$\frac{3}{2}$，
即有sinAcosA=$\frac{1}{4}$，
即有A为锐角，
解得sinA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cosA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
或cosA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sinA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$；
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC•ABsinA=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
=$\frac{3（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{4}$；
或S=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力．