Question

6．若S_n=1²-2²+3²-4²…（-1）^n-1•n²，则（n-6）•S_2n+1的最小值为-90．

Answer 1

分析 计算得S_2n+1=2n²+3n+1，记f（n）=（n-6）•S_2n+1=2n³-9n²-17n-6，问题转化为求函数f（x）=2x³-9x²-17x-6（x≥1）的最小值，解得当x=$\frac{9+\sqrt{183}}{6}$时取最小值，从而可得f（n）的最小值为-90．

解答 解：由题意可得S_2n+1=1²-2²+3²-4²…-（2n）²+（2n+1）²
=-（1+2+3+4+…+2n-1+2n）+（2n+1）²
=-$\frac{2n（1+2n）}{2}$+（2n+1）²
=2n²+3n+1，
（n-6）•S_2n+1=（n-6）•（2n²+3n+1）
=2n³-9n²-17n-6=f（n），
记f（x）=2x³-9x²-17x-6（x≥1），
令f′（x）=6x²-18x-17=0，解得x=$\frac{9±\sqrt{183}}{6}$，
所以f（x）在[1，$\frac{9+\sqrt{183}}{6}$）上单调递减，在（$\frac{9+\sqrt{183}}{6}$，+∞）上单调递增，
又$\frac{9+\sqrt{183}}{6}$≈3.75，所以f（n）在n=3或n=4时取最小值，
f（3）=-84，f（4）=-90，所以f（n）的最小值为-90．

点评 本题考查数列的求和及数列的最值，属于中档题．