Question

2．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ） 估计这500件产品质量指标值的样本平均数$\overline x$．
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似服从正态分布N（μ，δ²），其中μ近似为样本平均数$\overline x$，δ²近似为样本方差s²．（由样本估计得样本方差为s²=150）
（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；
（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（-∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．
附：$\sqrt{150}$≈12.2．若Z～N（μ，δ²），则P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），P（200＜Z＜212.2）=0.3413，即可得出结论；
（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，求出E（Y），即可求得EX．

解答 解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：
$\overline{x}$=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150．
（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，
所以P（200＜Z＜212.2）=0.3413，
所以P（Z＜212.2）=0.8413
（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，其分布列为

Y	2	5	10
P	0.1587	0.6826	0.1587

E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，
E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．

点评 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．