Question

6．已知a＞0，b＞0，双曲线S：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为3，k是双曲线S的一条渐近线的斜率，如果k＞0，那么$\frac{k}{a}$+b的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，可得k=$\frac{a}{b}$，代入要求的式子，由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：双曲线S：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为3，即有e=3，
即c=3a，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
即有k=$\frac{a}{b}$，
则$\frac{k}{a}$+b=$\frac{1}{b}$+b≥2$\sqrt{b•\frac{1}{b}}$=2，
当且仅当b=1取得等号．
则$\frac{k}{a}$+b的最小值为2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于基础题．