Question

14．已知F为抛物线C：y²=6x的焦点，A，B是C上的两点，线段AB的中点为M（2，2），求△ABF的面积．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式求得k，注意检验判别式是否大于0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到△ABF的面积．

解答 解：抛物线C：y²=6x的焦点为F（$\frac{3}{2}$，0），
设直线AB：y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，
代入抛物线方程y²=6x，
可得k²x²+（4k-4k²-6）x+（2-2k）²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则判别式△=（4k-4k²-6）²-4k²（2-2k）²＞0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+6-4k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{（2-2k）^{2}}{{k}^{2}}$
由线段AB的中点为M（2，2），
则$\frac{4{k}^{2}+6-4k}{{k}^{2}}$=4，解得k=$\frac{3}{2}$．
代入判别式显然大于0，
即有直线AB：y=$\frac{3}{2}$x-1，
x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{4}{9}$，
则有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$•$\sqrt{{4}^{2}-\frac{16}{9}}$=$\frac{4\sqrt{26}}{3}$，
F到直线AB的距离为d=$\frac{|\frac{9}{4}-1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{26}$，
则△ABF的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{13}}{26}$×$\frac{4\sqrt{26}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式大于0和韦达定理及中点坐标公式，同时考查点到直线的距离公式，三角形的面积的计算，属于中档题．