Question

设数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=

an

3

+

1

3n

．数列{b_n}，b_n=3^n-1a_n．正数数列{d_n}，d_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）设数列{b_n}，{d_n}的前n项和分别为B_n，D_n，求数列{b_nD_n+d_nB_n-b_nd_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列的定义即可证明数列{b_n}为等差数列；
（2）求出数列{b_n}，{d_n}的前n项和分别为B_n，D_n，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

3

+

1

3n

．得3nan+1=3n-1an+1．
又b_n=3^n-1a_n，
所以b_n+1=b_n+1，
又b₁=a₁=1，所以数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得b_n=1+（n-1）×1=n，B_n=

n(n+1)

2

，
因为d_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

．
所以d_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

=1+

2n(n+1)+1

n2(n+1)2

=[1+

1

n(n+1)

]²．
由d_n＞0，得d_n=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．
于是，D_n=n+1-

1

n+1

，
又当n≥2时，
b_nD_n+d_nB_n-b_nd_n=（B_n-B_n-1）D_n+（D_n-D_n-1）B_n-（B_n-B_n-1）（D_n-D_n-1）=B_nD_n-B_n-1D_n-1，
所以S_n=（B_nD_n-B_n-1D_n-1）+（B_n-1D_n-1-B_n-2D_n-2）+…+（B₂D₂-B₁D₁）+B₁D₁=B_nD_n…14分
因S₁=b₁D₁+d₁B₁-b₁d₁=B₁D₁也适合上式，故对于任意的n∈N^*，都有S_n=B_nD_n．
所以S_n=B_nD_n=

n(n+1)

2

•（n+1-

1

n+1

）=

1

2

（n³+2n²）．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等差数列的判断，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．