Question

6．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OC}$．求证：P、A、B、C四点共面．

Answer 1

分析 可假设这四点共面，则有$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，如果能求出λ，μ便说明假设正确，从而根据条件求出λ，μ，便得出P，A，B，C四点共面．

解答 证明：若P、A、B、C四点共面，∵A，B，C三点不共线；
∴存在实数λ，μ，使$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+μ（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$；
根据空间向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{1+λ+μ=\frac{2}{5}}\\{-λ=\frac{1}{5}}\\{-μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$；
解得$λ=-\frac{1}{5}，μ=-\frac{2}{5}$；
∴P，A，B，C四点共面．

点评 考查平面向量基本定理，以及空间向量基本定理，通过假设结论成立，然后找出使结论成立的条件即可．