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如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点p在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点,过R、P分别作直线l1、l2,使l1⊥PF,l2⊥l l1∩l2=Q.
(Ⅰ)求动点Q的轨迹C的方程;
(Ⅱ)在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线,设切点为A、B,求证:直线AB恒过一定点;
(Ⅲ)对(Ⅱ)求证:当直线MA,MF,MB的斜率存在时,直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.

(Ⅰ)解:依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.---------------------------------------(2分)
∴|PQ|=|QF|.
∴动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:x2=4py(p>0).--------------------(4分)
(Ⅱ)证明:设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2
由x2=4py得,求导得y′=
∴两条切线方程为
②-------------------(6分)
对于方程①,代入点M(m,-p)得,


整理得:
同理对方程②有
即x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.
∴x1+x2=2m,x1x2=-4p2 ③-----------------------(8分)
设直线AB的斜率为k,=
所以直线AB的方程为,展开得:
代入③得:
∴直线恒过定点(0,p).-------------------------------------(10分)
(Ⅲ) 证明:由(Ⅱ)的结论,设M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2
且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2
∴kMA=,kMB=----------------------------(11分)
===-------(13分)
又∵=-

即直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.----------------------------(14分)
分析:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;
(Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);
(Ⅲ) 由(Ⅱ)的结论,设M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2),且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2,从而可得kMA=,kMB=,由此可证直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.
点评:本题考查抛物线的定义,考查直线恒过定点,考查直线的向量,解题的关键是正确运用韦达定理,属于中档题.
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