Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．
（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）连结AD，由已知条件结合圆的性质推导出A、D、E、F四点共圆，由此能证明∠DEA=∠DFA．
（Ⅱ）由A、D、E、F四点共圆，连结BC，能推导出△ABC∽△AEF，由此能证明AB²=BE•BD-AE•AC．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，
又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA．
（Ⅱ）∵A、D、E、F四点共圆，
∴由切割线定理知BD•BE=BA•BF，
连结BC，则△ABC∽△AEF，
∴

AB

AE

=

AC

AF

，
∴AB•AF=AE•AC，
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF
=AB（BF-AF）=AB²．
∴AB²=BE•BD-AE•AC．

点评：本题考查两个角相等的证明，考查圆的性质的应用，是中档题，解题时要注意四点共圆的证明及应用．