Question

函数f（x）=x²+ax-alnx
（1）a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）a＞0时，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和单调区间．
（2）利用导数研究函数的最大值．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x²+x-lnx，函数的定义域为（0，+∞），
f′(x)=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

           …（2分）
因为x＞0，由f'（x）＜0，则0＜x＜

1

2

；f'（x）＞0，则x＞

1

2

   …（3分）
故f（x）的减区间为（0，

1

2

），增区间为（

1

2

，+∞）                  …（4分）
（2）a＞1时，f（x）=x²+ax-alnx的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x+a-

a

x

=

2x2+ax-a

x

，…（5分）
设g（x）=2x²+ax-a，则f′(x)=

g(x)

x

a＞1，其根判别式△=a²+8a＞0，
设方程g（x）=0的两个不等实根x₁，x₂，x₁＜x₂，…（6分）
则 x1=

-a- △

4

，x2=

-a+ △

4

a＞1，显然x₁0              …（7分）
当x∈（0，x₂），g（x）＜0，则f'（x）＜0，f（x）单调递减               …（8分）
x∈（x₂，+∞），g（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）单调递增             …（9分）
故f（x）在[1，a]上的最大值为f（1），f（a）的较大者                 …（10分）
设h（a）=f（a）-f（1）=2a²-aln?a-（1+a）=2a²-aln?a-a-1，其中a＞1
h'（a）=4a-lna-2，[h'（a）]'=4-

1

a

＞0，则h'（a）在（1，+∞）上是增函数，有h'（a）＞h'（1）=4-0-2＞0         …（12分）
h（a）在（1，+∞）上是增函数，有h（a）＞h（1）=2-1-1=0，…（13分）
即f（a）＞f（1），
所以a＞1时，函数f（x）在[1，a]上的最大值为f（a）=2a²-alna．…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．