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    数列{an}满足数学公式．
    （1）求S1，S2，S3并猜想Sn；
    （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．

    解：（1）当n≥2 时，，故．
    又，故可得 ，猜想：．
    （2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N*）时，结论成立，即．
    当n=k+1时，，
    故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N*成立．
    分析：（1）根据，可求 S1=，，猜想：．
    （2）①检验当n=1时结论成立，②假设，由= 可得结论当n=k+1时也成立，由①②知，结论对一切的n∈N*成立．
    点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明 是解题的难点．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•西城区二模）数列{an}满足a1=1，an+1=
    n-λn+1
    an    ，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
    ①?λ∈R，对于任意i∈N*，ai＞0；
    ②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N*），aiai+1＜0；
    ③?λ∈R，m∈N*，当i＞m（i∈N*）时总有ai＜0．
    其中正确的命题是
    ①③
    ①③
    ．（写出所有正确命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n∈N*，n≥2），
    已知a3=95．
    （1）求a1，a2；
    （2）是否存在一个实数t，使得bn=
    13n
    (an+t)(n∈N*)    ，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
    1
    2
    ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
    x-y
    1-xy
    ）．又数列{an}满足，a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2an
    1+an2
    ．
    （I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
    （ II ）求f（an）的表达式；
    （III）设bn=-
    1
    2f(an)
    ，Tn为数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得
    4Tn-m
    4Tn+1-m
    ＜
    1
    2
    成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为R，f(x)=
    1
    f(-x)
    ，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    (n∈N*)    ；
    （1）求{an}通项公式；
    （2）当a＞1时，不等式
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +…+
    1
    a2n
    ＞
    12
    35
    (loga+1x-logax+1)    对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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