Question

（本小题共12分）
（普通高中做）
如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC₁；
（II）求证：AC ₁//平面CDB₁；
（III）求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁………4分
（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，
∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；………8分
（III）∵ DE//AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.………12分