Question

设直线l₁y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同的点，与X轴相交于F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若椭圆的离心率为

3

2

，O是坐标的原点，求

OA

•

OB

的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）把y=x+1代入椭圆方程中，消去x，得关于y一元二次方程，由题意△＞0，证出a²+b²＞1；
（Ⅱ）设出A、B的坐标，表示出

OA

•

OB

，利用椭圆的离心率以及（Ⅰ）的结论，求出

OA

•

OB

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）证明：将y=x+1代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，
消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0…①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得；
△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0，
∴a²+b²＞1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得y₁+y₂=

2b2

a2+b2

，y₁y₂=

b2(1-a2)

a2+b2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂
=2y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=

2b2(1-a2)

a2+b2

-

2b2

a2+b2

+1
=

-2a2b2

a2+b2

+1；
∵椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，b²=a²-

3

4

a²=

1

4

a²；
代入上式，得；

OA

•

OB

=

-2×a2× 1 4 a2

a2+ 1 4 a2

+1=-

2

5

a²+1，
∵a²+b²=

5

4

a²＞1，∴a²＞

4

5

；
∴-

2

5

a²+1＜-

2

5

×

4

5

+1=

17

25

，
∴

OA

•

OB

的范围（-∞，

17

25

）．

点评：本题考查了向量与椭圆的综合应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数的关系与应用问题，是综合题目．