Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，则
①f（

11π

12

）=0；
②|f（

7π

10

）|＜|f（

π

5

）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是（　　）

A．①②④

B．①③

C．①③④

D．①②④⑤

Answer 1

分析：先将f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，变形为f（x）=

a2+b2

sin（2x+∅），再由f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假．

解答：解：①f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+∅），
由f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立得|f（

π

6

）|=

a2+b2

=|asin

π

3

+bcos

π

3

|=|

3 a

2

+

b

2

|，
即

a2+b2

=|

3 a

2

+

b

2

|，
两边平方整理得：a=

3

b．
∴f（x）=

3

bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+

π

6

）．
①f（

11π

12

）=2bsin（

11π

6

+

π

6

）=0，故①正确；
②|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|=2bsin

17π

30

，故②错误；
③f（-x）≠±f（x），故③正确；
④∵b＞0，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），即f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），故④错误；
⑤∵a=

3

b＞0，要经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行，又f（x）的振幅为2b＞

3

b，
∴直线必与函数f（x）的图象有交点，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是①③．
故选B．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，求得f（x）=2bsin（2x+

π

6

）是难点，也是关键，考查推理分析与运算能力，属于难题．