Question

奇函数f（x）在{x|x≠0}上有定义，且在区间（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，又函数g（t）=-t²+mt+3-2m，t∈[0，1]，则使函数g（t），f（g（t））同取正值的m的范围

{m|m＜0 }

_．

Answer 1

分析：由题意可得，当t∈[0，1]时，函数g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，故 g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，由此解得 m的范围．要使f（g（t））＞0，必须-2
＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．由

0-0+2m-1＜0 1-m+2m-1＜0

，解得 m的范围．再把这两个 m的范围取交集，即得所求．

解答：解：由题意可得，当t∈[0，1]时，函数g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，
∴g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，解得 m＜

3

2

．
由奇函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，可得f（-2）=0，且f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
要使f（g（t））＞0，必须-2＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2． 即-t²+mt+3-2m＞2在[0，1]，恒成立，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．
∴

0-0+2m-1＜0 1-m+2m-1＜0

，解得 m＜0．
综上，使函数g（t），f（g（t））同取正值的m的范围是 {m|m＜

3

2

}∪{m|m＜0 }={m|m＜0 }，
故答案为 {m|m＜0 }．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．