Question

已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，
（1）请补全函数f（x）的图象
（2）求函数f（x）的表达式，
（3）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数图象的特点，奇函数图象关于原点对称，补全函数f（x）的图象；
（2）当x大于0时，根据图象找出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，又根据抛物线过原点，把原点坐标代入即可确定出抛物线的解析式；当x小于0时，-x大于0，代入所求的抛物线解析式中，化简可得x小于0时的解析式，综上，得到f（x）的分段函数解析式；
（3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出f（x）的递增区间及递减区间．

解答：解：（1）根据奇函数图象的特点，画出图形，如图所示：

（2）当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²-2，又f（0）=0，得a=2，即f（x）=2（x-1）²-2；
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[2（-x-1）²-2]=-2（x+1）²+2，
所以f（x）=

2(x-1)2-2，x≥0 -2(x+1)2+2，x＜0

；（10分）
（3）根据函数图象可知：
函数f（x）的单调递增区间是：（-∞，-1]或[1，+∞）；
函数f（x）的单调递减区间是：[-1，1]．（12分）

点评：此题考查了奇偶函数的对称性，函数的单调性及单调区间，以及二次函数的图象与性质．要求学生掌握奇偶函数的性质及二次函数的性质，掌握二次函数解析式的确定方法，运用数形结合的思想解决数学问题．