Question

已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，
（1）求函数f（x）的表达式，
（2）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先由二次函数的图象求得当x≥0时的解析式，再利用奇偶性求得对称区间上的解析式，从而求得整个定义域上的解析式．（2）通过图象可知y轴右侧部分的单调区间，然后利用奇函数在对称区间上的单调性相同，得到整个定义域上的单调区间．

解答：解：（1）如图所示：
当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²-2，
又f（0）=0，得a=2，
即f（x）=2（x-1）²-2
当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x-1）²-2]=-2（x+1）²+2
所以f（x）=

2(x-1)2-2    x≥0 -2(x+1)2+2 x＜0

（3）如图所示：
单调递增区间是：（-∞，-1]，[1，+∞）
单调递减区间是：[-1，1]．

点评：本题主要考查对称区间上的解析式的求法和单调性问题．