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已知函数f(x)= (b<0)的值域是[1,3],

(1)求bc的值;

(2)判断函数F(x)=lgf(x),当x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;

(3)若t∈R,求证  lgF(|t|-|t+|)≤lg.

(1) c=2,b=-2,(2) F(x)为增函数 (3)证明略


解析:

  设y=,则(y-2)x2bx+yc=0        ①

x∈R,∴①的判别式Δ≥0,即 b2-4(y-2)(yc)≥0,

即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0                                                ②

由条件知,不等式②的解集是[1,3]

∴1,3是方程4y2-4(2+c)y+8c+b2=0的两根

c=2,b=-2,b=2(舍)

(2)任取x1x2∈[-1,1],且x2x1,则x2x1>0,且

(x2x1)(1-x1x2)>0,

f(x2)-f(x1)=->0,

f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即F(x2)>F(x1)

F(x)为增函数.

即-u,根据F(x)的单调性知

F(-)≤F(u)≤F(),

∴lgF(|t|-|t+|)≤lg对任意实数t 成立.

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1
3
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1
3
1
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]
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1
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6
11
]
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6
11
,1

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