Question

已知抛物线C：y=x²+4x+，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．

　　(1)若C在点M法线的斜率为-，求点M的坐标(x₀，y₀)；

　　(2)设P(-2，a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)函数y=x2+4x+的导数y′=2x+4 　　C上点(x0，y0)处切线的斜率k0=2x0+4 　　因为过点(x0，y0)的法线斜率为- 　　所以-(2x0+4)=-1 　　解得x0=-l，y0= 　　故点M的坐标为(-l，) 　　(2)设M(x0，y0)为C上一点 　　①若x0=-2，则C上点M(-2，)处的切线斜率k=0，过点M(-2，)的法线方程为x=-2，此法线过点P(-2，a)． 　　②若x0≠-2，则过点M(x0，y0)的法线方程为y-y0=(x-x0)　　　　　　　① 　　若法线过P(-2，a)，则a-y0=(-2-x0) 　　即(x0+2)2=a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　若a＞0，则x0=-2±，从而 　　y0=+4x0+= 　　将上式代入①，化简得 　　x+2y+2-2a=0 　　x-2y+2+2a=0 　　若a=0，则与x0≠-2矛盾 　　若a＜0，则②式无解 　　综上，当a＞0时，在C上有三个点(，)，(，)及(-2，)．在这三点的法线过点P(-2，a)，其方程分别是 　　x+2y+2-2a=0 　　x-2y+2+2a=0 　　x=-2 　　当a≤0时，在C上有一个点(-2，)，在这点的法线过点P(-2，a)，其方程为 　　x=-2