Question

【题目】（本小题满分12分）

某港湾的平面示意图如图所示， ， ， 分别是海岸线上的三个集镇， 位于的正南方向6km处， 位于的北偏东方向10km处．

（Ⅰ）求集镇， 间的距离；

（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．

Answer 1

【答案】（1）14 （2）

【解析】试题分析：先利用余弦定理已知两边及其夹角求出第三边，根据题意要求，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．设， ， ，根据面积相等求出，再利用余弦定理和基本不等式“等转不等”，求出的最小值.

试题解析：

（Ⅰ）在△中， ， ， ，

根据余弦定理得，

，

所以．故， 两集镇间的距离为14km．

（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．

设， ， ，

在△中，由，

得，即，

由余弦定理得， ，

所以，解得，当且仅当时， 取得最小值．

所以码头与集镇的距离均为km时， 之间的直线航线最短，最短距离为km．