Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1= 对任意正整数 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3nbn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=﹣3，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），

即an=2n﹣5，

n=1也适合，所以an=2n﹣5

（2）解：法一：

假设存在实数μ，使数列{3nbn+μ}是等比数列，且公比为q．

因为对任意正整数 ， ，

可令n=2，3，得 b2= ，b3=﹣ ．

因为{3nbn+μ}是等比数列，所以 = ，解得 μ=﹣

从而 = = =﹣3 （n≥2）

所以存在实数μ=﹣ ，公比为q=﹣3．

法二：因为对任意正整数 ．所以 ，

设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），则﹣4μ=1，

所以存在 ，且公比

（3）证明：因为a2=﹣1，a3=1，所以 ， ，

所以 ，即 ，

于是b1+b2+…+bn= + + +… = = =

当是奇数时：b1+b2+…+bn= ，关于递增，

得 ≤b1+b2+…+bn＜ ．

当是偶数时：b1+b2+…+bn= ，关于递增，

得 ≤b1+b2+…+bn ．

综上， ≤b1+b2+…+bn

【解析】（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得an ． （2）法一：假设存在实数μ，使数列{3nbn+μ}是等比数列，且公比为q．因为对任意正整数 ， ，可令n=2，3，得 b2 ， b3 ． 根据{3nbn+μ}是等比数列，可得： = ，解得 μ，代入可得 =﹣3 （n≥2）即可证明． 法二：因为对任意正整数 ．所以 ，设3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），可得﹣4μ=1，即可证明．（3）由a2=﹣1，a3=1，可得 ， ，可得 ，即 ，利用等比数列的求和公式即可得出．对n分类讨论，利用数列的单调性即可证明．