Question

【题目】已知双曲线C过点A（﹣ ，1），且与x2﹣3y2=1有相同的渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l与双曲线交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设双曲线C的方程为x2﹣3y2=λ，点A（﹣ ，1），代入可得λ=15﹣3=12，

∴x2﹣3y2=12，

∴双曲线C的标准方程为 =1

（2）解：由双曲线方程 =1可得a=2 ，b=2，

又由c2=a2+b2，得c=4，F2（4，0）

过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x﹣4，

代入x2﹣3y2=12得x2﹣12x+30=0，∴x=6±

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则|AB|= |x1﹣x2|=4

【解析】（1）由题意，设双曲线C的方程为x2﹣3y2=λ，点A（﹣ ，1），代入可得λ，即可求双曲线C的标准方程；（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x﹣4，代入x2﹣3y2=12得x2﹣12x+30=0，利用弦长公式，求|AB|．