Question

各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知公比为q（q∈N₊）的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，且存在m∈N₊满足b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{a_n}各项均为正数，可得数列{a_n}为首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求出公比，即可求得数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，∴4S_n+1=

a

2 n+1

+2a_n+1+1，
两式相减得：4a_n+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+2a_n+1-2a_n，…（2分）
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵数列{a_n}各项均为正数
∴a_n+1-a_n=2，…（4分）
∴数列{a_n}为首项为1，公差为2的等差数列，
故a_n=2n-1…（6分）
（2）bn=qn-1，依题意得

qm-1=2m-1 qm=2m+5

，相除得q=

2m+5

2m-1

=1+

6

2m-1

∈N₊，…（8分）
∴2m-1=1或2m-1=3，代入上式得q=3或q=7，…（10分）
∴bn=7n-1或bn=3n-1．…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．