Question

Rt△ABC中，AB为斜边，

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是______．

Answer 1

△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，
设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，
∵

AB • AC = AB |• AC |cos A=9(1) S△ABC= 1 2 AB |? AC |sin A=6(2)

（1）÷（2），得 tanA=

4

3

=

a

b

，
令a=4k，b=3k（k＞0）
则 S△ABC=

1

2

ab=6?k=1∴三边长分别为3，4，5．


以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，
则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y-12=0．
设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．
可知 x+y+z=m+n+

|4m+3n-12|

5

，
且

m≥0 n≥0 4m+3n-12≤0

，
故x+y+z=

m+2n+12

5

，
令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：
当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．
故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是 [

12

5

，4]．
故答案为：[

12

5

，4]．