Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点£在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．
（I ）求证：EF丄PB；
（II ）试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我们可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PB；
（II ）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，结合（I）的结论可得BH⊥平面BCFE，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则我们可以分别求出平面PFC与平面BFC的法向量，代入二面角的向量夹角公式中，求出其余弦值，判断后，即可得到答案．

解答：解：（I）证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
又∵PB?平面PEB
∴EF⊥PB
（II）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，
由（I）知，EF⊥PD
∴PD⊥平面BCFE
在平面PEB中过点B作直线BH∥PD
则BH⊥平面BCFE
如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
设PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4
∴BE=4-x，EF=x
在Rt△PED中，∠PED=60°
∴PD=

3

2

x，DE=

1

2

x
∴BD=4-x-

1

2

x=4-

3

2

x
∴C（4，0，0），F（x，4-x，0），P（0，4-

3

2

x，

3

2

x）
从而

CF

=（x-4，4-x，0），

CP

=（-4，4-

3

2

x，

3

2

x）
设

n

=（a，b，c）是平面PCF的一个法向量，则：

a(x-4)+b(4-x)=0 -4a+(4- 3 2 x)b+ 3 2 x=0

即

a-b=0 3 b-c=0

令b=1，则

n

=（1，1，

3

）是平面PCF的一个法向量，
又∵平面BCF的一个法向量为

v

=（0，0，1）
设二面角P-FC-B的平面角为θ，则
Cosθ=

n • v

| n |•| v |

=

15

5

∴当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值

15

5

点评：本题主要考查直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．